\newcommand{\EA}{\ensuremath{\mathcal{A}}}
\newcommand{\EB}{\ensuremath{\mathcal{B}}}
\begin{EXERCICE}
\exercice{Gaz parfait}

Une mole de gaz parfait diatomique à la température de \numprint{298}~\unit{K}
et à une pression de \numprint{100}~\unit{bar} subit une détente entre
un état initial \EA\ ($P_{\EA} = \numprint{100}~\unit{bar}$,
$T_{\EA} = \numprint{298}~\unit{K}$) et un état final
\EB\ ($P_{\EB} = \numprint{10}~\unit{bar}$, 
$T_{\EB} = \numprint{298}~\unit{K}$). On considère trois
chemins pour passer de l'état \EA\ à l'état \EB:
\begin{enumerate}[a)]
\item le gaz subit une transformation isotherme réversible entre \EA\ et \EB;
\item le gaz subit une détente monotherme irréversible en une étape;
\item le gaz subit une détente monotherme irréversible en trois étapes:
        \begin{enumerate}[1)]
        \item \numprint{100} à \numprint{50}~\unit{bar};
        \item \numprint{50}  à \numprint{20}~\unit{bar};
        \item \numprint{20}  à \numprint{10}~\unit{bar}.
        \end{enumerate}
\end{enumerate}
Les transformations irréversibles s'effectuent à pression
extérieure constante.
\begin{questions}
\item Calculer la variation d'énergie interne, le travail et la
        quantité de chaleur échangés lorsque le système passe
        de l'état \EA\ à l'état \EB\ suivant les trois chemins
        présentés plus haut.
\item Représenter graphiquement le travail dans le diagramme
        $(P,V)$.
\item Le système étant dans l'état \EB\, on veut revenir à l'état
        initial \EA. Calculer les énergies échangées dans les cas
        suivant:
        \begin{questions}
        \item le gaz subit une compression isotherme réversible
                entre \EB\ et \EA;
        \item le gaz subit une compression monotherme irréversible
               en une étape. 
        \end{questions}
\item Commenter les résultats obtenus.
\end{questions}
\end{EXERCICE}

\begin{SOLUTION}
\newcommand{\Ea}{\ensuremath{{\mathcal{E}_a}}}
\newcommand{\Eb}{\ensuremath{{\mathcal{E}_b}}}
\newcommand{\etat}[6][c]{%
\footnotesize$\begin{array}[#1]{l}
\Press_{#6} = \numprint{#2}~\unit{bar} \\
\Vol_{#6}   = \numprint{#3}~\unit{l}   \\
\Temp_{#6}  = \numprint{#4}~\unit{K}   \\
\nmol_{#6}  = \numprint{#5}~\unit{mol} \\
\end{array}$}
\soluce{Gaz parfait}

\reponse{Variation d'énergie interne, travail, chaleur}
Dans tous les cas, comme $\Temp_\EA = \Temp_\EB$, notée \Temp, on a
$\Denergie = 0$, donc $\chaleur = - \travail$
\begin{enumerate}[a)]
\item $\dchaleur = - \dtravail = \Pext\dd\Vol = \Press\dd\Vol = \frac{\nmol\Rgp\Temp}{\Vol}\dd\Vol$

        $\chaleur = \nmol\Rgp\Temp\int_\EA^\EB \frac{\dd\Vol}{\Vol} = \nmol\Rgp\Temp\ln\left(\frac{\Vol_\EB}{\Vol_\EA}\right)$

\item $\dchaleur = - \dtravail = \Pext\dd\Vol = \Press_\EB\dd\Vol$

        $\chaleur = \Press_\EB\int_\EA^\EB\dd\Vol = \Press_\EB\left(\Vol_\EB - \Vol_\EA\right)$
\item Idem que précédemment, en trois étapes, les états intermédiaires sont notés \Ea\ et \Eb.

        $\chaleur = \chaleur_a + \chaleur_b + \chaleur_c = 
                        \Press_\Ea\left(\Vol_\Ea - \Vol_\EA\right) + 
                        \Press_\Eb\left(\Vol_\Eb - \Vol_\Ea\right) + 
                        \Press_\EB\left(\Vol_\EB - \Vol_\Eb\right)$
\end{enumerate}

On déduit de la loi des gaz parfaits les quantités nécessaires aux calculs:
\[
\begin{split}
\Vol_\EA & = \frac{\nmol_\EA\Rgp\Temp_\EA}{\Press_\EA} = \frac{1\cdot\Rgpval\cdot\numprint{298}}{10^{7}} = \numprint{2.4778}\,10^{-4}~\unit{m^3}
                                                                                                         = \numprint{0.24778}~\unit{l} \\
\Vol_\EB & = \frac{\nmol_\EB\Rgp\Temp_\EB}{\Press_\EB} = \frac{1\cdot\Rgpval\cdot\numprint{298}}{10^{6}} = \numprint{2.4778}\,10^{-3}~\unit{m^3}
                                                                                                         = \numprint{2.4778}~\unit{l} \\
\Vol_\Ea & = \frac{\nmol_\Ea\Rgp\Temp_\Ea}{\Press_\Ea} = \frac{1\cdot\Rgpval\cdot\numprint{298}}{5\,10^{6}} = \numprint{4.9554}\,10^{-4}~\unit{m^3}
                                                                                                            = \numprint{0.49554}~\unit{l} \\
\Vol_\Eb & = \frac{\nmol_\Eb\Rgp\Temp_\Eb}{\Press_\Eb} = \frac{1\cdot\Rgpval\cdot\numprint{298}}{2\,10^{6}} = \numprint{1.2389}\,10^{-3}~\unit{m^3}
                                                                                                            = \numprint{1.2389}~\unit{l} 
\end{split}
\]
On en déduit:
\[
\begin{split}
\chaleur_{\text{a)}} & =  1\cdot\Rgpval\cdot\numprint{298}\ln\left(\frac{\numprint{0.24778}}{\numprint{2.4778}}\right) = \numprint{5705.14}~\unit{J} \\
\chaleur_{\text{b)}} & =  1\,10^{6}\cdot(\numprint{2.4778}\,10^{-3} - \numprint{2.4778}\,10^{-4}) =  \numprint{2230.02}~\unit{J} \\
\chaleur_{\text{c)}} & =  5\,10^{6}\cdot(\numprint{4.9554}\,10^{-4} - \numprint{2.4778}\,10^{-4}) \\ 
                       & + 2\,10^{6}\cdot(\numprint{1.2389}\,10^{-3} - \numprint{4.9554}\,10^{-4}) \\
                       & + 1\,10^{6}\cdot(\numprint{2.4778}\,10^{-3} - \numprint{1.2389}\,10^{-3}) = \numprint{3964.42}~\unit{J}
\end{split}
\]

\reponse{Graphique}
\tikzset{
chemin/.style={postaction={decorate},
                           decoration={markings,
                                mark = at position 0.2 with {\arrow{stealth}},
                                mark = at position 0.6 with {\arrow{stealth}}}},
cheminr/.style={postaction={decorate},
                           decoration={markings,
                                mark = at position 0.2 with {\arrow{stealth}},
                                mark = at position 0.4 with {\arrowreversed{stealth}},
                                mark = at position 0.6 with {\arrow{stealth}},
                                mark = at position 0.8 with {\arrowreversed{stealth}}}}
}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\begin{axis}[axis lines=left,clip=false,enlargelimits,
                xlabel = $P$ (\unit{bar}),
                ylabel = $V$ (\unit{l}),
                legend style={anchor=west, at={(0.5,1)}},
                legend cell align=left
                ]
\addplot[red,only marks] coordinates{(0.25,100) (2.5,10)};
\addplot[green!60!black,only marks] coordinates{(0.5,50) (1.25,20)};
\addplot[cheminr,blue,smooth,mark=none,domain=0.25:2.5,samples=20]{8.3144621 * 298 / (x * 100)}; % [P] = bar, [V] = l
\addplot[cheminr,orange,mark=none] coordinates {(0.25,100) (0.25,10) (2.5,10)};
\addplot[chemin,green!60!black,mark=none] coordinates {(0.25,100) (0.25,50) (0.5,50) (0.5,20) (1.25,20) (1.25,10) (2.5,10)};
\node[right]       at (axis cs:0.25,100) {\EA\etat{100}{0.25}{298}{1}{\EA}};
\node[above right] at (axis cs:2.5,10)   {\EB\etat[b]{10}{2.5}{298}{1}{\EB}};
\node[above right] at (axis cs:0.5,50)   {\Ea\etat[b]{50}{0.5}{298}{1}{a}};
\node[above right] at (axis cs:1.25,20)  {\Eb\etat[b]{20}{1.25}{298}{1}{b}};
\legend{,,
Détente/compression isotherme réversible, 
Détente/compression monotherme irréversible 1 étape, 
Détente monotherme irréversible 3 étapes}
\end{axis}
\end{tikzpicture}
\end{center}

\reponse{De l'état \EB\ à l'état \EA}

Il s'agit du même calcul, au signe près:
\begin{enumerate}[a')]
\item $\dchaleur = - \dtravail = \Pext\dd\Vol = \Press\dd\Vol = \frac{\nmol\Rgp\Temp}{\Vol}\dd\Vol$

        $\chaleur = \nmol\Rgp\Temp\int_\EB^\EA \frac{\dd\Vol}{\Vol} = \nmol\Rgp\Temp\ln\left(\frac{\Vol_\EA}{\Vol_\EB}\right)$

\item $\dchaleur = - \dtravail = \Pext\dd\Vol = \Press_\EA\dd\Vol$

        $\chaleur = \Press_\EA\int_\EB^\EA\dd\Vol = \Press_\EA\left(\Vol_\EA - \Vol_\EB\right)$
\end{enumerate}
D'où les résultats:
\[
\begin{split}
\chaleur_\text{a')} = -\chaleur_\text{a)} = \numprint{-5705.14}~\unit{J}\\
\chaleur_\text{b')} = -\chaleur_\text{b)} = \numprint{-2230.02}~\unit{J}
\end{split}
\]

\reponse{Commentaires}
La chaleur/le travail dépend du chemin parcouru, le maximum étant atteint pour
le chemin réversible.
\end{SOLUTION}
